Die Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung: by Dietmar Achilles

By Dietmar Achilles

1. 1 EinfUhrendes Beispiel Aus den zahlreichen Anwendungen der Fourier-Transformation in der Signalverar beitung sei zur Einfilhrung ein Beispiel ausgew8. hlt, das einerseits besonders deut lich die tragende Rolle der Fourier-Transformation zeigt und andererseits eine Schilderung der Zusammenhange unmittelbar aus der Anschauung heraus gestattet: die Bestimrriung der Oberflachenstrukturen von Planeten durch Zeit-Frequenz-Ana lyse von Radarimpulsen. Zunachst einige Vorbemerkungen zur Radar-Astronomie [1. 1-1. 3J allgemein: Sie dient der Erforschung unseres Sonnensystems. Nachbarplaneten, Sonne, Mond und andere Himmelskorper sind dabei Zielobjekte von Radarimpulsen, die liber die Pa rabolantennen von Radioteleskopen abgestrahlt werden. Ein sehr kleiner Teil der vom jeweiligen Objekt reflektierten bzw. gestreuten Impulsenergie gelangt wieder zum Radioteleskop zurlick, wird aus den liberlagerten Rauschsignalen herausgef- tert und hinsichtlich der gewlinschten info ausgewertet. Der relativ kompli zierte SignalverarbeitungsprozeB wird in der Regel mit Hilfe einer Digitalrechenan lage, die direkt mit dem Radarsystem verbunden ist, in Echtzeit ausgefUhrt. sign auswertungen dieser paintings liefern beispielsweise Messungen der Planetenpositionen und -bahngeschwindigkeiten, die urn GroBenordnungen genauer sind als bei entspre chenden optischen Beobachtungsmethoden. Darliber hinaus erhalten wir Informationen liber die Rotation und die Oberflachenstruktur von Planeten, auch und insbesondere dann, wenn sie wie die Venus von einer undurchsichtigen Atmosphare umgeben sind. Urn einen Einblick in die Zusammenhange zu gewinnen, gehen wir von einer verein fachenden Modellvorstellung aus. Der Sendeimpuls sei ein tragerfrequenter Recht eckimpuls der shape fUr 0';;; t .;;; e (1. 1-1) sonst."

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1-7) gegeben ist. Die Ein- deutigkeit der RUcktransformation von U(f) in den Zeit bereich ist also nicht gegeben, solange wir an der Forderung der punktweisen Ubereinstimmung festhalten. h. 1-49) -co u. 5. Gibbssches Phanomen so wirken sich offensichtlich Abweichungen in einzelnen Punkten nicht aus, und wir konnen in dies em Sinne die Umkehrtransformation als eindeutig betrachten. Auf dieser gelockerten F orderung basiert die F ourier-Transform ation im L2 -Raum, die von Plancherel entwickelt wurde.

Die Gewichtsfunktion habe die Fourier-Transformierte G{f). Aus dem Faltungssatz folgt dann fUr das Spektrum der Signalfunktion x{t) L CD x{t) o---e X{f) = G{f) * V=- CD L CD Cv 6{f - v/9) = v=- CD cvG{f - v/e). 3-16) 44 2. 3-11) fUr u(t) ergibt sich nun eineUberlagerungder mit den Fourier-Koeffizienten von u(t) bewerteten Spektren G(f - \1/9). 15 dargestellte Form. Filr gentigend groJ3e Werte von m wird die Bandbreite von G (f) klein gegen 1/9, und man erhalt ein "fast diskontinuierliches" Spektrum mit "endlicher Linienbreite".

Usw. Allgemein ergibt sich dann fUr eine Funktion g(t). die fUr t to Ableitungen bis zur k-ten Ordnung besitze. 2-34) wenn bei Annaherung an t = to von links und von rechts die Grenzwerte g(to - 0). g(l)(t o - 0) ••••• g(k-1)(to - 0) bzw. g(t o + 0). g(l)(t o + 0) ••••• g(k-1)(t o + 0) existieren. 1 wird noch die Fourier-Transformierte einer periodischen Folge von 6-Distributionen angegeben. Weitergehende Aspekte der Distributionstheorie kennen hier nicht erertert werden. 4] empfohlen.

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